cho x+y+z=0. chứng minh 2(x4+y4+z4)=(x2+y2+z2)2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HT
1
NT
1
7 tháng 7 2021
Có x+y+z=0
<=>(x+y+z)+(x+y+z)=0
<=>x+y+z+x+y+z=0
<=>2x+2y+2z=0
<=>(2x+2y+2z).2=0(1)
Tương tự có :(4x+4y+4z).2=0(2)
Từ (1)và(2) có (x2+y2+z2).2=2.(x4+y4+z4)
Chúc bạn học tốt nha
14 tháng 5 2022
Bài 3:
\(\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+3\right)+15\)
\(=\left(x^2-9\right)\left(x^2-1\right)+15\)
\(=x^4-10x^2+9+15\)
\(=x^4-10x^2+24\)
\(=\left(x^2-4\right)\left(x^2-6\right)\)
\(=\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^2-6\right)\)
4 tháng 9 2021
a: Ta có: \(\left(x+y\right)^2\)
\(=x^2+2xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\forall x,y>0\)
24 tháng 6 2023
Ta có:
\(x^4\ge0\); \(y^4\ge0\) ;\(z^4\ge0\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge0\)
Ta cũng có:
\(x^2\ge0\); \(y^2\ge0\) ;\(z^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge0\)
Mà: \(x^4>x^2;y^4>x^2;z^4>z^2\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge\left(x^2+y^2+z^2\right):3\) (đpcm)
AA
0
PT
1
CM
11 tháng 2 2018
Ta có: VT = ( x 3 + x 2 y + x y 2 + y 3 )(x - y)
= ( x- y). ( x 3 + x 2 y + x y 2 + y 3 ).
= x. ( x 3 + x 2 y + x y 2 + y 3 ) - y( x 3 + x 2 y + x y 2 + y 3 )
= x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + x y 3 – x 3 y – x 2 y 2 – x y 3 – y 4
= x 4 – y 4 = VP (đpcm)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\) Thay x+y+z=0 vào
\(\Rightarrow0=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=-2\left(xy+yz+xz\right)\) (1)
Ta có
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\) (2)
Bình phương 2 vế của (1)
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(xy+yz+xz\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xy^2z+2xyz^2+2x^2yz\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left[x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xyz\left(x+y+z\right)\right]\)
Do x+y+z=0 nên
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2}=2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\) (3)
Thay (3) vào (2)
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2}\)
\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4+z^4\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\) (đpcm)